How do space agencies calculate spacecraft paths?

How do space agencies calculate spacecraft paths?

প্রথমেই, a big congratulations to everyone involved in the Artemis II mission, and to the crew, welcome back home to Earth… আমাদের মনে মাঝেমধ্যে প্রশ্ন জাগতেই পারে যে, স্পেস এজেন্সি গুলো (যেমন NASA) আসলে কীভাবে কোনো একটা স্পেস মিশনে spacecraft-এর trajectory ক্যালকুলেট করে? এত এত জটিল gravitational environment-এর ভেতর দিয়ে spacecraft-টি কোন পথে যাবে, সেটা কীভাবে ঠিক করা হয়? পথ কি শুধুমাত্র একটাই থাকে, নাকি আরো alternative paths থাকে? আমরা যখন একটা space mission-এর কথা ভাবি, তখন চোখে শুধু ভাসে rocket আর astronaut, কিন্তু এর পেছনে শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত কাজ করে অনেকগুলো ছোট ছোট গুরুত্বপূর্ণ ডিপার্টমেন্ট। আর, তার মধ্যে একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ অংশ হলো advanced engineering, যার ব্যাকগ্রাউন্ডে আছে গণিত। বিশেষ করে গণিতের একটি বিশেষ ফিল্ড “dynamical systems”। বাস্তবে একটি spacecraft সোজা পথে কখনোই সামনে যায় না। Spacecraft গুলোর trajectory বা path বা motion (যাই বলি না কেন) describe করতে যে ইকুয়েশন সেট বা system ইউজ করা হয়, সেগুলো highly nonlinear, যেখানে অনেক বিষয়ের পাশাপাশি- multiple celestial body-র gravity, initial conditions, energy constraints ইত্যাদি সবকিছু একসাথে কন্সিডার করা হয়। এবং সত্যি বলতে এই system গুলো high-dimensional আর এতই high-dimensional parameter dependent যে, এই nonlinear equation গুলো solve করতে দরকার হয় high computational power এবং very high precision। ছোট্ট একটা numerical error-ও huge deviation তৈরি করতে পারে। এজন্য পুরো problem-solving প্রসেসটাই হয়ে যায় computationally extensive এবং খুবই challenging। তাই, এর সাথে যুক্ত থাকা গবেষকদের টিম শুধু এই “What is one trajectory?” প্রশ্নের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকেন না, বরং তারা আরো গভীরে গিয়ে জানতে চান- “What trajectories are even possible?”, এখানেই সত্যিকারের আনন্দটা। এই ইকুয়েশন গুলোর solution কখনোই একটির মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে না, বরং শতভাগ ক্ষেত্রেই families of solutions হিসেবে ধরা দেয়, অর্থাৎ সহজ ভাবে বললে অনেক গুলো (families) সল্যুশন এক্সিস্ট করে। ও আচ্ছা, trajectory বলতে আমি বুঝাচ্ছি, সেই কমপ্লিকেটেড system বা nonlinear equations-এর solution। Trajectory or solution-কে আমরা একটা curve হিসেবেও ভাবতে পারি। এখন এই solution trajectory গুলোর মধ্যে কিছু কিছু থাকে stable, কিছু আবার unstable। প্রব্লেম টা দাঁড়ায় তখনই যখন এই unstable solution গুলোকে বের বা নির্ণয় করতে হয়। আর এই জায়গাতেই অনেক known mathematical method গুলো fail করে। ধরা যাক, (ঘন কুয়াশার মধ্যে) আমরা একটা পাহাড়ি পথে হাঁটছি, এই পথটাই হলো solution curve বা solution trajectory বা trajectory। কিন্তু সমস্যা হলো- এই পাহাড়ি পথগুলো সোজা না। এগুলো কখনো আঁকাবাঁকা, কখনো আবার এমনভাবে ঘুরে যায় যে মনে হয়- উল্টো দিকে চলে যাচ্ছে। Mathematically বললে বলা যায় যে, পাহাড়ি রাস্তায় bend/ fold/ turning point থাকে। Parameter-dependent এইসব solution curve গুলো যখন turn নেয়, তখন সেই known mathematical method গুলো আর কাজ করে না। আমি এখানে আর known mathematical method কি কি আছে, সেগুলো লিখলাম না, এগুলো নিয়ে যারা নাড়াচাড়া করে, তাদের এগুলো এমনিতেই জানা। যাইহোক, যখন এইসব মেথড গুলো কাজ করে না, ঠিক এখানেই কাজে আসে একটা powerful method, নাম pseudo-arclength continuation। এই মেথড বলে- “don’t follow a parameter, rather follow the solution itself.” এই মেথড model dynamics কে প্রথমে nonlinear algebraic (steady state) equation-এ কনভার্ট করে, তারপর একটা initial known solution থেকে যাত্রা শুরু করে, এবং একটা artificial parameter কন্সিডার করে নেয় যেটাকেই আমরা pseudo বলে থাকি। তারপর, এটি কাছাকাছি nearby solution-এর একটা direction খুঁজে বের করে এবং সেই দিকে একটা ছোট step নেয় (যাকে ম্যাথের ভাষায় আমরা বলি “prediction”), তারপর একটা অতিরিক্ত constraint equation যুক্ত করে আগের সেই nonlinear equation এর সাথে। এরপর Newton method ইউজ করে সল্যুশনটাকে ঠিক করে নেয় (ম্যাথের ভাষায় “correction” করে)। সহজ ভাবে বললে, একদম কুয়াশার মধ্যে ঐ পাহাড়ি পথে হাঁটার মতো- ঘন কুয়াশার মধ্যে পাহাড়ি পথে আপনি আমি যখন পুরো পথ দেখতে পাচ্ছি না, তখন পায়ের নিচে যে রাস্তা আছে, সেটাকে ধরে একটু করে আগাচ্ছি, আর তারপর check করে নিচ্ছি যে, “ঠিক পথে আছি তো?” এইভাবে step by step পুরো solution trajectory গুলোকে বের করা যায়। এমনকি সেইসব জায়গাতেও যেখানে solution trajectory ‘bend’ করে বা turn নেয়, এবং যেখানে অন্য method গুলো completely fail করে। এখন বিষয় হলোঃ স্পেস এজেন্সি গুলো শুধু কোনো একটিমাত্র method ব্যবহার করে না। তারা pseudo-arclength মেথডের পাশাপাশি বিভিন্ন মেথডের combination করে চেক করে, যেমন shooting method, collocation method, optimization techniques ইত্যাদি। তবে বলা বাকি রাখে না যে, pseudo-arclength মেথড খুবিই important role play করে। বিশেষ করে trajectory families এক্সপ্লোর করতে এবং system-এর structure বুঝতে। যে কম্বিনেশনই ইউজ করা হোক না কেন, pseudo-arclength মেথডের মাধ্যমে যখন system-এর সবগুলো সল্যুশন (অর্থাৎ families) ক্যালকুলেট করা হয়ে গেলো, কেবল তখনই গবেষকদের মধ্যে পরের প্রশ্ন মাথায় জাগে যে- “সল্যুশন গুলো যেহেতু পেয়েই গিয়েছি আমরা, তাহলে এগুলোর মধ্যে কোন সল্যুশনটা stable, কোনটা stable না, কোন অবস্থায় sudden change হতে পারে?”, ইত্যাদি ইত্যাদি। তাই, ফাইনালি বলা যায় যে “Spacecraft motions are modelled by nonlinear dynamical systems, and continuation methods such as pseudo-arclength are used to determine the families of all possible solutions or trajectories.”